בגרות 571 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 5טריגונומטריה 571 · שיעור 49
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD (AB ∥ DC).
נתון כי אורך הבסיס AB שווה לאורך הצלע BC.
נסמן: AB = BC = k; הזווית ∢ACB היא זווית חדה (בשאלון היא מסומנת באות; כאן נקרא לה פשוט ∢ACB).
א. הראו כי AC = 2k · cos∢ACB.
נתון: DC = 2k , AD = 1.2k.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. מצאו את גודל הזווית ∢ACB.
ג. מצאו את גודל הזווית ADC.
המשכי הצלעות DA ו־CB נחתכים בנקודה E.
נתון כי האורך של רדיוס המעגל החסום במשולש EDC הוא 14.
ד. מצאו את הערך של k.
סעיף א – הראו כי AC = 2k · cos∢ACB
במשולש ABC: AB = BC = k, ולכן הוא שווה שוקיים עם בסיס AC.
📐 משפט
נוריד גובה BN לבסיס AC. הנקודה N היא אמצע AC, כלומר AC = 2 · NC.
במשולש ישר הזווית BNC (∢BNC = 90 מעלות), BC = k הוא היתר ו־NC הוא הניצב ליד הזווית ∢ACB:
cos∢ACB = NCBC
📐 נוסחה: cos במשולש ישר זווית
נציב BC = k:
cos∢ACB = NCk
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון
📐 נוסחה: cos במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף א – הראו כי AC = 2k · cos∢ACB · המשך
cos∢ACB = NCk
NC = k · cos∢ACB
AC = 2 · NC
נציב NC = k · cos∢ACB:
AC = 2 · k · cos∢ACB = 2k · cos∢ACB
✅ פתרון סופי: הוכח: AC = 2k · cos∢ACB
סעיף ב – גודל הזווית ∢ACB
AB ∥ DC, ולכן:
📐 משפט
∢ACD = ∢BAC = ∢ACB
(השוויון ∢BAC = ∢ACB – זוויות הבסיס במשולש שווה השוקיים ABC.)
נוריד גובה AH מ־A לצלע DC. במשולש ישר הזווית AHC, היתר הוא AC = 2k · cos∢ACB והזווית ליד C היא ∢ACB:
AH = AC · sin∢ACB
📐 נוסחה: sin במשולש ישר זווית
נציב AC = 2k · cos∢ACB:
📐 משפט
זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
📐 נוסחה: sin במשולש ישר זווית
sin = ניצב מול הזוויתיתר
סעיף ב – גודל הזווית ∢ACB · המשך
נציב AC = 2k · cos∢ACB:
AH = 2k · cos∢ACB · sin∢ACB
HC = AC · cos∢ACB
📐 נוסחה: cos במשולש ישר זווית
נציב AC = 2k · cos∢ACB:
HC = 2k · cos∢ACB · cos∢ACB = 2k · cos2∢ACB
DH = DC − HC
📐 נוסחה: cos במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף ב – גודל הזווית ∢ACB · המשך
DH = DC − HC
נציב DC = 2k ו־HC = 2k · cos2∢ACB:
DH = 2k − 2k · cos2∢ACB
DH = 2k(1 − cos2∢ACB)
נציב 1 − cos2∢ACB = sin2∢ACB:
DH = 2k · sin2∢ACB
📐 נוסחה: זהות יסודית
📐 נוסחה: זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ב – גודל הזווית ∢ACB · המשך
DH = 2k · sin2∢ACB
📐 נוסחה: זהות יסודית
במשולש ישר הזווית AHD נשתמש במשפט פיתגורס:
AD2 = AH2 + DH2
📐 משפט: משפט פיתגורס
נציב AH = 2k · cos∢ACB · sin∢ACB ו־DH = 2k · sin2∢ACB:
AD2 = (2k · cos∢ACB · sin∢ACB)2 + (2k · sin2∢ACB)2
AD2 = 4k2 · cos2∢ACB · sin2∢ACB + 4k2 · sin4∢ACB
📐 נוסחה: זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
📐 משפט: משפט פיתגורס
a2 + b2 = c2
סעיף ב – גודל הזווית ∢ACB · המשך
AD2 = 4k2 · cos2∢ACB · sin2∢ACB + 4k2 · sin4∢ACB
AD2 = 4k2 · sin2∢ACB · (cos2∢ACB + sin2∢ACB)
נציב cos2∢ACB + sin2∢ACB = 1:
AD2 = 4k2 · sin2∢ACB
📐 נוסחה: זהות יסודית
AD = 2k · sin∢ACB
נציב AD = 1.2k:
📐 נוסחה: זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ב – גודל הזווית ∢ACB · המשך
נציב AD = 1.2k:
1.2k = 2k · sin∢ACB
sin∢ACB = 1.2k2k = 0.6
הזווית חדה, ולכן:
∢ACB ≈ 36.87 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ACB ≈ 36.87 מעלות
סעיף ג – גודל הזווית ADC
cos∢ACB = √1 − sin∢ACB2
נציב sin∢ACB = 0.6 (סעיף ב):
cos∢ACB = √1 − 0.62 = √0.64
📐 נוסחה: זהות יסודית
cos∢ACB = 0.8
AC = 2k · cos∢ACB
נציב cos∢ACB = 0.8:
📐 נוסחה: זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ג – גודל הזווית ADC · המשך
נציב cos∢ACB = 0.8:
AC = 2k · 0.8 = 1.6k
נבדוק את צלעות המשולש ACD: AC = 1.6k , AD = 1.2k , DC = 2k.
AC2 + AD2 = (1.6k)2 + (1.2k)2 = 2.56k2 + 1.44k2 = 4k2
DC2 = (2k)2 = 4k2
AC2 + AD2 = DC2, ולכן הזווית שמול DC ישרה:
📐 משפט
📐 משפט
המשפט ההפוך למשפט פיתגורס
סעיף ג – גודל הזווית ADC · המשך
AC2 + AD2 = DC2, ולכן הזווית שמול DC ישרה:
📐 משפט
∢DAC = 90 מעלות
סכום הזוויות במשולש ACD:
📐 משפט
∢ADC = 180 − ∢DAC − ∢ACD
נציב ∢DAC = 90 ו־∢ACD = ∢ACB ≈ 36.87:
∢ADC = 180 − 90 − 36.87
📐 משפט
המשפט ההפוך למשפט פיתגורס
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
סעיף ג – גודל הזווית ADC · המשך
∢ADC = 180 − 90 − 36.87
∢ADC = 53.13 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ADC ≈ 53.13 מעלות
סעיף ד – הערך של k
נמצא את הזוויות במשולש EDC:
∢EDC = ∢ADC = 53.13 מעלות
∢ECD = ∢BCA + ∢ACD
נציב ∢BCA = ∢ACD ≈ 36.87:
∢ECD = 36.87 + 36.87 = 73.74 מעלות
📐 משפט
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
סעיף ד – הערך של k · המשך
📐 משפט
∢DEC = 180 − ∢EDC − ∢ECD
נציב ∢EDC = 53.13 ו־∢ECD = 73.74:
∢DEC = 180 − 53.13 − 73.74
∢DEC = 53.13 מעלות
∢DEC = ∢EDC, ולכן המשולש EDC שווה שוקיים: CE = CD = 2k.
📐 משפט
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
📐 משפט
מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
סעיף ד – הערך של k · המשך
∢DEC = ∢EDC, ולכן המשולש EDC שווה שוקיים: CE = CD = 2k.
📐 משפט
לפי סעיף ג CA ⊥ ED, כלומר CA הוא הגובה לבסיס ED.
📐 משפט
AE = AD = 1.2k
מרכז המעגל החסום, I, הוא נקודת המפגש של חוצי הזוויות. CA חוצה את ∢ECD, ולכן I נמצא על CA.
📐 משפט
המעגל משיק ל־ED, והרדיוס לנקודת ההשקה מאונך ל־ED. הקטע IA מאונך ל־ED, ולכן נקודת ההשקה היא A ו־IA = 14.
📐 משפט
DI חוצה את הזווית ∢ADC:
📐 משפט
מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון וגם חוצה זווית הראש
📐 משפט
מרכז המעגל החסום במשולש – מפגש חוצי הזוויות
📐 משפט
רדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
סעיף ד – הערך של k · המשך
DI חוצה את הזווית ∢ADC:
∢IDA = ∢ADC2
נציב ∢ADC = 53.13:
∢IDA = 53.132 ≈ 26.57 מעלות
במשולש ישר הזווית IAD (∢IAD = 90 מעלות):
tan∢IDA = IAAD
📐 נוסחה: tan במשולש ישר זווית
📐 נוסחה: tan במשולש ישר זווית
tan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
סעיף ד – הערך של k · המשך
tan∢IDA = IAAD
📐 נוסחה: tan במשולש ישר זווית
נציב ∢IDA ≈ 26.57 , IA = 14 ו־AD = 1.2k:
tan(26.57) = 141.2k
0.5 = 141.2k
1.2k · 0.5 = 14
0.6k = 14
📐 נוסחה: tan במשולש ישר זווית
tan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
סעיף ד – הערך של k · המשך
0.6k = 14
k = 140.6 = 703 ≈ 23.33
בדיקה בדרך אחרת – בעזרת השטח וחצי ההיקף של המשולש EDC (הבסיס ED = 2 · 1.2k = 2.4k, הגובה CA = 1.6k):
S = 12 · ED · CA
נציב ED = 2.4k ו־CA = 1.6k:
S = 12 · 2.4k · 1.6k = 1.92k2
סעיף ד – הערך של k · המשך
S = 12 · 2.4k · 1.6k = 1.92k2
p = 2k + 2k + 2.4k2 = 3.2k
r = Sp
📐 נוסחה: רדיוס המעגל החסום
נציב S = 1.92k2 ו־p = 3.2k:
r = 1.92k23.2k = 0.6k
אותה משוואה 0.6k = 14 ✓
📐 נוסחה: רדיוס המעגל החסום
r = Sp (p – חצי היקף)
סעיף ד – הערך של k · המשך
אותה משוואה 0.6k = 14 ✓
✅ פתרון סופי: k = 703 ≈ 23.33
📌 סיכום התשובות
סעיף א
הוכחה
סעיף ב
≈ 36.87 מעלות
סעיף ג
≈ 53.13 מעלות
סעיף ד
k = 703 ≈ 23.33
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא